Que faire de votre chèvre?

Au boulot monsieur Seguin

Il y a quelques années j'étais tombé sur un problème de maths dont l'énoncé consistait à attacher une chèvre dans un champ de telle sorte qu'elle ne puisse manger qu'une partie de l'herbe. Dans mes souvenirs, il me semblait qu'il s'agissait d'un champ carré et que l'on souhaitait que la chèvre ne puisse avoir accès qu'à 50% de la surface du champ. C'est donc cette idée qui sera développée par la suite. Cependant il est à noter que ce problème de chèvre est un grand classique mais l'énoncé contient des variantes où le champ est  rond (et non carré) ou alors celui-ci contient des obstacles (une grange ou un silo) qui bloquent certains accès. 
D'ailleurs, la version du problème avec un champ carré n'est même dans l’énumération (pourtant exhaustive) que vous trouverez en suivant le lien ci-joint : =>Là<=

Bref, revenons à nos moutons (vous avez vu la blague subtile?). Le problème est donc le suivant : Il faut attacher une chèvre dans un champ carré afin que celle-ci ne puisse brouter que la moitié de la surface dudit champ.

Cas 1 : On attache la chèvre dans un coin

Si l'on attache la chèvre dans un coin, la surface à sa disposition sera un quart de cercle dont la surface est égale à :

  

avec r qui est la longueur de la corde. De l'autre côté, nous avons un champ carré dont les cotés sont de longueur c. Il faut donc trouver la valeur de r telle que la surface totale dont la chèvre dispose représente 50% de l'aire totale du champ. Il faut donc résoudre l'équation : 

ce qui donne (même si je suis sur que vous pouvez le faire par vous-même) : 

Cela signifie que si l'on a un champ carré qui mesure 10m par 10m alors il faudra utilser une corde de 7.98 m afin que la chèvre ne puisse brouter que la moitié de la surface du champ.

Cas 2 : On attache la chèvre "pas dans un coin"

Nous avons vu que si la chèvre est dans un coin, le calcul pour trouver la longueur de corde est plutôt simple. Si vous êtes d'un naturel optimiste vous pouvez supposer qu'il en sera de même si l'on attache la chèvre à un point différent de la clôture. Eh bien détrompez-vous, ça devient horrible.

La raison est que la zone accessible à la chèvre n'est plus un simple quart de cercle mais une portion d'un cercle tronqué. C'est peut-être un détail pour vous mais pour moi ça veut dire beaucoup. Ça veut dire qu'on va s’embêter avec des intégrales (France Gall est d'accord avec moi sur ce point).

En effet, l'équation d'un demi-cercle centré en 0 se calcule avec la formule suivante :

Puisque nous désirons trouver l'aire sous cette courbe, on va en calculer la primitive :

On peut donc déduire l'aire d'un cercle allant de -b (l'abscisse la plus à gauche atteignable par la chèvre) à a (l'abscisse la plus à droite) qui sont donc soit les limites du champ soit la longueur de la corde.

Dans le tout premier cas, quand le poteau est dans l'angle gauche du champ, on a a=r et b=0. Ce qui a l'avantage de pouvoir se simplifier en :

On est content car on retrouve bien la valeur de la surface d'un quart de cercle. Ouf. Par contre, autant vous dire que pour n'importe quelle autre valeur, il n'y a pas de simplification. J'avais de l'espoir pour le cas où on plantait le piquet pile au milieu d'un coté. On aurait donc a = -b = c/2 mais même dans ce cas là on obtient :

Ce qui donne :


 

C'est pas si affreux que ça, mais cette équation à la particularité d'être transcendante. Cela signifie que l'on ne peut pas exprimer r uniquement en fonction des autres paramètres car r est aussi fonction de lui-même. Par exemple, l'équation sin(x)=1 n'est pas transcendante mais sin(x)=x oui.

La seule manière d'obtenir le résultat est donc d'utiliser des méthodes de calculs alternatives (dans notre cas, du calcul approché). Grâce à l'informatique il est possible de trouver que la longueur de corde nécessaire lorsque le piquet est au centre d'un des cotés est égale à (environ) 0.583 fois la longueur du coté du champ.

Et puisqu'on en est a faire des calculs informatiques, autant en profiter pour montrer comment varie la longueur de la corde en fonction de l'endroit où l'on met le poteau. La partie de gauche montre en ordonnée la valeur obtenue en fonction de la valeur en x (qui indique la position dans le champ). Le graphique de droite montre en vert clair, la zone accessible à la chèvre et qui dans tous les cas de figure correspond exactement à la moitié de la surface totale du champ.

Conclusion

Nous voilà donc arrivés à la fin. Notre chèvre est bien gardée désormais. Il est à noter que ce calcul peut être facilement adapté à des champs rectangulaires et que tous ces résultats sont applicables à n'importe quel animal (mouton, brebis ....). Je conseillerais cependant d'être prudent dans le cas d'un élevage de girafe, la longueur de leur cou doit être prise en compte dans les calculs sous peine d'avoir de mauvaises surprises.