Squid Game : Game 5 probability

 

Introduction

This is the year 2021 and the world only talks about one thing : the new Netflix tv Show called "Squid Game" (no, nobody talks about the coronavirus anymore, it's too 2020). 

Warning : limited spoilers ahead.

The show tells the story of a groups of people that have to go through a serie of tests where, each time, some of the contestants will be definitively eliminated from the game. In the episode 7, we will attend to the 5th test out of the 6 planned in the competition. This test relies partially on probability and luck.

The design

!! SPOILERS AHEAD !!

At this point of the game, there are only 16 contestants left. The test consists on 18 rows of two tiles each. The contestants will have to go one by one on each of these 18 rows. For each row, he will have to select between two tiles (left or right) but, one of the two tiles of each row is trapped (and the other one is safe) and if a contestant steps on the trapped tile, he will fail the test and be eliminated. (I tried to be vague in the description to avoid as much to spoil as I can).

To summarize, for each row, a contestant has one chance out of two to be eliminated and one chance out of two to go to the next row. Also, in this game, order really matters because even if the first contestant as to rely on his luck to guess correctly 18 times in a row the good answer in order to go through all the rows (he has one chance out of 2^18 to succeed). The following contestants knows what were the good and the bad tiles for each rows that the previous contestants already manage to go through.

For example, if the first contestant succeed at the first row, selecting the left tile and fail at the second row choosing the right tile, the second contestant already knows for sure the good answer for the first two rows : they are in both cases the left ones. Which means he just have to try is luck on the last 16 remaining rows which slighlty increases its chances. And the probability to have somebody able to go through the 18 tiles increases for each following contestant.

The question is to know, what are the probabilities for any number of contestant to succeed at the game. We already know that the probability to have 16 successful contestant out of 16 means that the first player should not be eliminated and then should guess correctly the 18 good tiles, meaning one chance out of 262 144.

But what are the probabilities to have 15, 14, 13 succesful players?

Simulations

The basic way to know the answer is to run computer simulations, test plenty of cases and have an estimation of the repartition of the outcome (ie the number of successful player).

R code to run such a simulation looks like this :

NPlayers = 16

NRows = 18

# Function to count the number of successful people going one by one

Success = function(Sampling) {

  vec = array(NA, dim = ncol(Sampling))

  playerid = 1

  TileId = 1

  while (playerid <= nrow(Sampling) & TileId <= ncol(Sampling)) {

    if (Sampling[playerid, TileId] == 0) {

      # Bad tile selected the next player has to play

      # The next player will have the right i-th tile 

      #(because the previous contestant failed so he knows the right answer)

      playerid = playerid + 1

    }

    vec[TileId] = playerid

    TileId = TileId + 1 # Next row

  }

  # Return the number of succesful people

  if (any(vec > nrow(Sampling))) return(0) else return(nrow(Sampling) - vec[length(vec)] + 1)

}

Count = c()

for (iter in 1:1000000) {

# Basic random simulation of each participant walk

# don't take into account their previous steps

  Sampling = matrix(sample(c(0, 1), size = NPlayers * NRows, replace = T), ncol = NRows)

  Count[iter] <- Success(Sampling)

}

table(Count)

Which gives this kind of result :

Even if the bar does not appears on the graph, there are some cases where 13, 14, 15 and 16 people manages to go through but the values are so small they don't show up. From the simulation we can see that in this configuration ( 16 players and 18 rows ) more than 50% of the time 6 to 8 players will succeed. These are the most common occurences. 

Results based on 1 million simulations :

N Success	N Occurences	Observed Probability 1 time out of ...
0	651	1536
1	3 009	332
2	11 658	86
3	32 901	30
4	70 535	14
5	121 481	8
6	166 921	6
7	185 816	5
8	167 026	6
9	121 408	8
10	70 595	14
11	32 585	30
12	11 583	86
13	3 154	317
14	597	1 675
15	75	13 333
16	5	200 000

The theory says that there is one chance out of 262 144 to have 16 players that succeed, in our simulation it happened 5 times out of 1 million, hence once each 200 000 trials, which is close to the theoretical value.

Analytical results

After creating a rough estimation of each proportion we can try to be more accurate in the description. In our case we have N = 18 rows, each of them have 2 possibilities. This means there are 2^18 possible outcomes from people crossing all the rows. 

The case where no mistakes are made is unique and then appears once out of the 262 144 (2^18) cases. 

The case where 1 failure happened is not unique. The mistake can happened at row 1 or row 2 or row3, etc.. up to row 18. Which means there are 18 cases possible where only one error happened. Hence the probability of an outcome with one error represents 18 of the 262 144 cases.

For the cases with two errors, you have to list all the combinations of two positions among the 18 where the failure occurs. You have 18 possibility for the first error and 17 remaining possibilities for the second. Hence you have 18 x 17 = 306 possibilities. But be careful because you are counting twice the same results. For example the couple of error (10,2) and (2,10) are in fact the same. So you need to divide by two which leads to 153 unique combinations aomng the 262 144 cases.

For the case with three failures, method remains the same, you can count all the possibilities 18x17x16 = 4896 and divide by 6 (because each triplet of number have 6 different way to be sorted but are the same for us). Three failures happens 816 times out of 262 144.

The rest of the computation works the same way except for the 3 last cases. Because we are counting the number of players going through all the cases with 16 or more mistakes will leads to no player left. That is why we should groups them in the same value : "0 player remaining"

N Success	Probability	Real occurence
0	0.06%	1524.09
1	0.31%	321.25
2	1.17%	85.67
3	3.27%	30.6
4	7.08%	14.12
5	12.14%	8.23
6	16.69%	5.99
7	18.55%	5.39
8	16.69%	5.99
9	12.14%	8.23
10	7.08%	14.12
11	3.27%	30.6
12	1.17%	85.67
13	0.31%	321.25
14	0.06%	1713.36
15	0.01%	14563.56
16	0.0004%	262144

Our simulated results were not too far from the reality.

Conclusion

SPOILER AGAIN

In the TV show, only 3 people manage to go through the 18 rows ( because, of course, nothing happened like it was supposed to) but in theory there should have been 6 to 8 people able to do it. The case where only 3 people manage to go through only happens 3% of the time and havig 3 person or less that manage to go through will only occurs with a probability below 5%.

 

Il est plus rentable de jouer au Loto qu'à l'Euromillions

 

Introduction 

Nous allons parler de la meilleure manière de gagner de l'argent, en comparant les gains réalisables à l'EuroMillions et au Loto. Si vous voulez un résumé de ce qui va suivre : Gardez votre argent c'est vraiment trop une escroquerie!! (Vous avec une chance sur 10 000 de gagner 100€ à l'EuroMillions, c'est pas honteux?!?!)

Le loto

Inutile de présenter le loto, il s'agit surtout d’expliquer que depuis octobre 2008, la grille du Loto se compose désormais de 5 nombres à choisir parmi 49 et d'un autre numéro (appelé numéro chance à choisir parmi une autre grille, plus petite, allant de 1 à 10). Si le numéro chance est le bon, alors la grille est remboursée. Donc une fois sur 10 le joueur repart au moins avec sa mise même si aucun numéro de sa grille principale n'est bon.

 L'EuroMillions

La grille d'EuroMillions se compose elle aussi d'un système de "double grille". Une première grille principale où il faut choisir 5 nombres parmi 50 et deux nombres (deux "étoiles") à choisir dans une seconde grille parmi 12 possibilités. Il est donc plus difficile d'obtenir le gros lot pour la grille d'EuroMillions puisque celle-ci a à chaque fois un peu plus de cases que celle du Loto et en plus il faut choisir deux nombres au lieu d'un, dans la grille secondaire.

Il est plus "rentable" de jouer au loto

Évidemment les cagnottes de l'EuroMillions sont plus importantes, cependant il faut aussi regarder quel jeu offre la plus grande probabilité de gagner des sommes plus raisonnables, disons 100 euros, ou 1000 euros, afin d'en évaluer l’intérêt.

Pour se faire il suffit de deux types d'informations : 

1- La probabilité qu'une grille appartienne à un certain rang (le "rang" est la catégorisation d'une grille en fonction du nombre de numéros corrects. Une grille ayant tous les bons numéros est une grille de rang 1). 

2 - Quel gain est associé à chaque grille de chaque rang. 

On peut alors déduire de ces deux informations la probabilité de gagner une certaine somme. Pour connaitre le gain associé à chaque grille il suffit de regarder les tirages déjà passés et l'argent gagné par les joueurs aux différents rangs.

Pour l'EuroMillions il n'est possible de remonter qu'à septembre 2016 puisque auparavant, la grille secondaire contenait 11 numéros et non 12. Les probabilités de gains étaient donc différentes. Pour le Loto, la grille secondaire n'est apparue qu'en 2008.

Pour avoir des résultats comparables, se sont donc tous les tirages depuis 2017 (et donc tous les gains) qui ont été comparés.De plus d'un tirage à l'autre, il existe une certaine variabilité dans les gains qui sont possibles. Ils dépendent de l'importance de la cagnotte mais aussi du nombre de vainqueurs aux différents rangs qui devront se partager la somme. Un intervalle de confiance (à 80%) est donc ajouté sur le graphique.

La comparaison

Interprétation

Le graphique (en échelle logarithmique) se lit ainsi, en regardant l'axe des abscisses et en regardant par exemple la valeur 10K (notation abrégée de 10 000). On constate que la courbe orange passe environ par la valeur 100 en ordonnées. Cela signifie qu'il y a environ une chance sur 10 000 d'avoir une grille qui permet de gagner de gagner 100 euros à l'EuroMillions. En regardant la courbe bleue, on se rend compte qu'il y a une chance sur 10 000 (donc environ la même probabilité) d'avoir une grille qui permet de gagner 500 euros. C'est quand même (un peu) mieux non ?

On notera parfois des décalages un peu étranges dans ces deux courbes. Ils s'expliquent par certaines bizarreries de ces loteries. Par exemple on voit que les rangs 6 et 7 de l'EuroMillions sont quasiment à la même probabilité mais que le gain du rang 6 est assez significativement supérieur à celui du rang 7. Le rang 6 de l'EuroMillions correspond a 3 numéros + 2 étoiles et a une chance sur 14125 d'arriver. Le rang 7 est "un peu" plus facile a obtenir, il s'agit d'avoir 4 bons numéros et 0 étoile. Il a une chance sur 13811 d'arriver. La différence de probabilité entre ces deux évènements est donc minime (à peine 3% d'écart) et pourtant la récompense n'est pas du tout la même, en moyenne le propriétaire d'une grille de rang 6 repartira avec 102€ alors qu'un possesseur d'une grille de rang 7 repartira avec 60€.

Rentabilité

Il semble évident que jouer aux différentes loteries n'est pas un placement "rentable" (cous allez perdre en moyenne plus d'argent que ce que vous allez en gagner. A peine un peu plus de 50% des mises sont retournées sous forme de gain auprès des joueurs. Pour le loto, vous dépenserez 2.20€ pour une grille qui vous rapportera en moyenne 1.17€.

Nous avons aussi vu qu'à l'EuroMillions il y a environ une chance sur 14 000 d'avoir une grille de rang 6 et que ça grille rapportera (en gros) 100€. Cela signifie que si vous jouez 14 000 grilles a 2.5€, en moyenne vous en aurez une qui vous rapportera 100€ (pour cet exemple on ne compte pas le fait que d'autres de ces grilles peuvent être gagnantes à des rangs inférieurs). Vous avez donc dépensé 35 000€ pour en gagner 100. Vous avez donc dépensé 350 fois plus que ce que vous avez gagné. C'est ce chiffre, "350" qui nous intéresse. Normalement on souhaiterai s'approcher d'une valeur de rentabilité de 1. C'est a dire que l'on récupère en moyenne ce que l'on à misé. C'est une chose qui est possible dans une certaine mesure pour les deux cas extrêmes.

Par exemple pour le Loto, il suffit d'avoir une bonne étoile pour être remboursé de sa mise. Donc en moyenne, si vous achetez 10 grilles il y en a une qui vous rapportera 2.20€. Vous aurez donc dépensé 22€ et reçu 2.2€. C'est donc une rentabilité de 10. Ce n'est pas incroyable mais c'est quand même toujours mieux que 350. 

Idem pour le cas inverse. Nous avons vu qu'il y a environ une chance sur 140 millions d'avoir la bonne combinaison à l'EuroMillions. Donc si vous achetez 140 millions de grilles à 2.5€ vous avez donc dépensé 350 millions (oui il faut avoir un peu les moyens). Vous allez donc forcement gagner le gros lot et si la cagnotte était par exemple de 100 millions (et que vous êtes le seul gagnant) alors vous aurez atteint une rentabilité d'environ 3.5 (je dis "environ" car vous allez gagner aussi un peu d'argent avec les autres grilles aux rangs inférieurs). Une fois de plus, ce n'est pas une rentabilité de 1, mais c'est toujours mieux que 350.

On peut alors comparer les "rentabilités" entre le Loto et l'EuroMillions.

Le graphique

Les choses à constater sont que le Loto est toujours plus rentable que l'EuroMillions mais surtout, et c'est une excellente technique marketing, les deux extrêmes sont les choses les plus rentables. Cela signifie que vous gagnerez "souvent" des petites sommes, vous montrant qu'il est possible de gagner à ce jeu et cela pourrait vous inciter à rejouer. De la même manière, le gros lot sera lui aussi "souvent" décroché, on en parlera peut-être dans les journaux et vous vous direz que cela pourrait aussi être vous. En revanche, des gens qui gagnent 500€ ça n'épate pas grand monde et finalement ces gens-là sont "proportionnellement" plus rares que les autres. Si les mises étaient équitablement réparties entre les rangs on devrait voir des barres horizontales sur le graphique ci-dessus, indiquant que le gain est proportionnel à la rareté de l'évènement. Ce n'est pas le cas ici, les cas très fréquents sont très biens payés mais les gains intermédiaires sont très peu "rentables".

Calcul des probabilités

Cette dernière partie revient sur la manière de calculer la probabilité d'obtenir un certain résultat. On va d'abord calculer la probabilité d'avoir tous les bons numéros (donc de trouver la grille exacte correspondant au tirage) mais il est plus interessant de voir comment il est possible de trouver la probabilité d'avoir un résultat incomplet (le résultat "parfait" n'en est finalement qu'une extension).

Le nombre de tirages possible de 5 numéros parmi 50 est :

cette formule explique qu'il y a 50 possibilités pour choisir le premier numéro, puis 49 possibilité pour le second (car il ne reste plus que 49 numéros parmi lesquels piocher après avoir tiré le premier numéro), 48 pour le troisième, 47 pour le 4ème et 46 pour le 5ème. Il y a donc 50x49x48x47x48 possibilités. Mais il faut aussi faire attention à ne pas compter des combinaisons en double. En effet, le tirage 1-2-3-4-5 et 5-4-3-2-1 constituent par exemple 2 grilles strictement identiques. L'ordre de tirage ne doit pas donc rentrer en compte. C'est pour ça que l'on divise par le nombre total de manière d'ordonner 5 un tirage de 5 numéros. Le premier des numéros peut être tiré parmi 5, le suivant parmi 4, etc... On divise donc par 5x4x3x2x1.

Au tiercé, l'ordre d'arrivée des chevaux à une importance, et le résultat 1-2-3-4-5 ne rapportera pas forcement la même somme que si le résultat est 5-4-3-2-1 alors qu'au Loto cela n'a pas d'importance. On peut donc compter le nombre d'arrangements possibles mais au loto (ou à l'EuroMillions) les nombres peuvent être permutés. Il faut donc diviser le nombre total d’arrangements par le nombre total de permutations afin d'obtenir le nombre total de combinaisons.

Poursuivons avec le nombre de tirages possibles de 2 numéros parmi 12 qui est :

Donc, le nombre de combinaisons de doubles-grilles est 66 fois 2118760 ce qui est égal a 139 838 160. Il y a donc environ une chance sur 140 millions d'avoir la bonne grille.

Exemple : Quelle est la probabilité, à l'EuroMillions, d'avoir 3 bons numéros sur 5 dans la grille principale et un bon numéro (une "étoile") sur 2 dans la grille secondaire. Tout d'abord il faut compter le nombre total de combinaisons.

Regardons maintenant le nombre de cas où 3 numéros sur 5 sont corrects dans la grille principale. Il s'agit donc de piocher 3 numéros parmi les 5 bons et 2 numéros parmi les 45 mauvais.

Puis dans la grille secondaire, on cherche les cas où un numéro (parmi les deux tirés) est bon et l'autre est n'est pas gagnant (et donc appartient au 10 numéros non-tirés de la seconde grille)

Il y a donc 9900 x 20 grilles différentes qui ont exactement 3 bons numéros sur la grille principale et 1 sur la grille secondaire. Ce qui fait donc 198 000 grilles parmi les 140 millions. Ce qui représente donc environ 1 chance sur 706.

Le tableau des probabilités est donc le suivant :

Rang	Combinaison	Probabilité	1 chance sur
1	5 numéros + 2 étoiles	0,000 000 72 %	139 838 160
2	5 numéros + 1 étoile	0,000 014 %	6 991 908
3	5 numéros + 0 étoile	0,000 032 %	3 107 515
4	4 numéros + 2 étoiles	0,000 16 %	621 503
5	4 numéros + 1 étoile	0,0032 %	31 075
6	3 numéros + 2 étoiles	0,0071 %	14 125
7	4 numéros + 0 étoiles	0,0072 %	13 811
8	2 numéros + 2 étoiles	0,10 %	985
9	3 numéros + 1 étoile	0,14 %	706
10	3 numéros + 0 étoile	0,32 %	314
11	1 numéro + 2 étoiles	0,53 %	188
12	2 numéros + 1 étoile	2,03 %	49

Pour le Loto, dans un esprit similaire les probabilités sont les suivantes :

Rang	Résultats	Probabilités	1 chance sur
1	5 numéros + numéro chance	0,000005 %	19 068 840
2	5 numéros sans numéro chance	0,000047 %	2 118 760
3	4 numéros + numéro chance	0,001154 %	86 677
4	4 numéros sans numéro chance	0,010383 %	9 631
5	3 numéros + numéro chance	0,049 %	2 016
6	3 numéros sans numéro chance	0,446 %	224
7	2 numéros + numéro chance	0,694 %	144
8	2 numéros sans numéro chance	6,250 %	16
9	0 ou 1 numéro + numéro chance	9,254 %	11

 

 

Taille des pages wikipedia des département français

Si ça ce n'est pas une question inutile je ne sais pas ce qu'il vous faut. Le but est de savoir si la page Wikipédia de chaque département français est plus ou moins de la même taille (et donc si une quantité d’information égale est proposée par les contributeurs.)

Pour ce faire il suffit de requêter chacune des pages web de chaque fiche de département et de mesurer deux choses : le nombre de mots dans la page (cela peut être sujet a discussion concernant ce qui doit être compté) et la taille de la page HTML (qui n'inclue que le contenu texte et pas les images dans le poids total). Cette dernière mesure semble donc plus fiable.

Nous obtenons alors les cartes suivantes :

Et la carte pour le poids en kilooctet de chaque page :

Les deux cartes ont approximativement la même allure avec deux départements qui se détachent largement : la Savoie (de par son histoire) et Paris (pour des raisons évidentes aussi, puisque la page cumule la description du "département" et surtout de la ville en elle-même.

On peut alors constituer le tableau de synthèse suivant où l'on constate que la majorité des pages font entre 4700 et 8000 mots (avec un minimum de 2300 mots pour la page de la Haute-Corse et un maximum de 51 000 mots pour celle de Paris) et entre 220 et 300Ko (avec un minimum de 170Ko pour le Lot et un maximum de 1500 Ko pour Paris)

Les départements avec les pages les plus "légères" selon ces deux critères sont donc: le Lot, le Rhône, La Haute-Corse et la Meurthe-et-Moselle.

 

Département	Nombre de mots	Poids (en Ko)
Ain	5353	255.598
Aisne	4771	207.256
Allier	7030	261.116
Alpes-de-Haute-Provence	9713	334.431
Hautes-alpes	6387	291.247
Alpes-maritimes	6388	278.84
Ardèche	8440	334.751
Ardennes	7420	265.921
Ariège	6094	258.569
Aube	6266	297.045
Aude	8396	274.509
Aveyron	3812	199.111
Bouches-du-Rhône	5440	239.908
Calvados	3625	196.507
Cantal	5534	269.971
Charente	8046	281.786
Charente-maritime	9904	363.417
Cher	4427	250.588
Corrèze	5798	253.96
Corse-du-Sud	3128	235.031
Haute-Corse	2372	178.478
Côte-d'Or	5141	213.052
Côtes-d'Armor	7273	687.309
Creuse	5533	233.972
Dordogne	5851	256.648
Doubs	6551	251.819
Drôme	5277	236.79
Eure	14428	512.477
Eure-et-loir	10721	384.4
Finistère	7635	335.501
Gard	6069	259.035
Haute-garonne	4615	211.556
Gers	3670	218.643
Gironde	6928	269.881
Hérault	7363	307.968
Ille-et-Vilaine	6604	260.257
Indre	10697	500.157
Indre-et-Loire	8056	267.167
Isère	7009	270.221
Jura	4510	204.012
Landes	4955	223.449
Loir-et-Cher	4742	213.515
Loire	9196	383.016
Haute-loire	5195	250.159
Loire-Atlantique	6541	316.341
Loiret	4167	202.779
Lot	2961	169.535
Lot-et-Garonne	11325	271.362
Lozère	6546	275.817
Maine-et-Loire	8259	384.04
Manche	5421	206.548
Marne	4651	217.304
Haute-Marne	3782	186.864
Mayenne	21744	675.509
Meurthe-et-Moselle	3390	188.404
Meuse	4308	205.771
Morbihan	5492	251.772
Moselle	10005	315.46
Nièvre	3644	177.965
Nord	5829	266.073
Oise	7855	344.042
Orne	7483	326.831
Pas-de-calais	5899	273.149
Puy-de-dôme	5474	231.778
Pyrénées-atlantiques	3693	199.089
Hautes-Pyrénées	4108	210.333
Pyrénées-orientales	6669	306.814
Bas-Rhin	5183	218.868
Haut-Rhin	4019	257.889
Rhône	3481	175.173
Haute-Saône	5186	299.16
Saône-et-Loire	7384	258.767
Sarthe	18564	566.934
Savoie	44417	1224.886
Haute-Savoie	10816	402.19
Paris	51059	1500.525
Seine-maritime	4521	228.468
Seine-et-Marne	5258	239.203
Yvelines	24775	731.709
Deux-Sèvres	4854	245.716
Somme	7463	359.255
Tarn	17435	580.835
Tarn-et-Garonne	3441	208.508
Var	5460	240.358
Vaucluse	9049	374.446
Vendée	8606	351.623
Vienne	3936	247.805
Haute-vienne	8959	315.99
Vosges	3748	198.546
Yonne	5331	264.082
Territoire_de_Belfort	4192	215.176
Essonne	23078	804.123
Hauts-de-seine	12041	442.727
Seine-Saint-Denis	18019	588.904
Val-de-Marne	5298	231.117
Val-d'Oise	7537	337.136