Approximation de π grace au triangle de Pascal (le grand frère)

La formule de Leibniz pour approximer π

Il existe de nombreuses manières d'approximer le nombre π. Dans l'antiquité on se contenait d'approximer π au moyen de fractions plus ou moins complexes. Mais dès le Moyen-Age c'est par le biais de séries que l'on a pu avoir les meilleures résultats. Ces séries sont juste des suites (infinies) d'opérations qui, à chaque étape (ou itération) se rapprocheront de plus en plus de la valeur de π. L’inconvénient de cette méthode est que comme ces suites sont infinies, la précision du résultat dépend du nombre d’itération que l'on peut calculer ce qui est limité par le temps que l'on peut y passer et les moyens technologiques à disposition. 

La formule de Madhava-Leibniz fut calculée à l'époque pour les 21 premiers termes ce qui permis de trouver la valeur de π à la 11ème décimale :

Formule de Madhava-Leibniz

Vous pouvez tenter de calculer les 21 premiers termes à la main et me dire combien de temps ça vous a pris.

Une autre version intéressante est attribuée elle aussi à Leibniz, qui fut le premier à réellement l'expliciter (même si Gregory avait défini le cas général et que la formule de Leibniz en est dérivée pour un cas très simple). Elle est définie de la façon suivante :

Formule de Leibniz

Leibniz, hippie avant l'heure

Cette formule est très simple puisqu'elle consiste en une somme de fraction unitaires (c'est à dire de fractions où le numérateur vaut 1) divisée par tous les nombres impairs. C'est simple et facile à se rappeler. Cependant elle à l’inconvénient de converger trèèès lentement ce qui la rend globalement inutile en pratique. Il faut noter que ces nombres impairs composent la deuxième "diagonale"du triangle de Pascal (ça semble trivial mais cela a un intérêt pour la suite)

La formule de Toloza

Une autre version a été trouvée par Jonas Toloza en 2007[1] qui a crée une seconde série qui approxime π en utilisant une série de nombres particulière. La formule est la suivante :

Formule de Toloza

Ici on ne divise pas 1 par des nombres impairs, mais par une série de nombres (1,3,5,10,15,21...) qui se trouvent être ceux composant la troisième "diagonale" du triangle de Pascal. C'est là où ça devient amusant. Les gens se sont alors mis à chercher si il était possible d'utiliser les nombres issus des diagonales du triangle de Pascal pour créer ces séries.

A ce stade, on commence donc à voir où cet article veut en venir.

La formule de Hardisky

Plus récemment, en 2017, Hardisky[2] a trouvé aussi une suite utilisant un élément sur deux mais cette fois-ci dans la quatrième diagonale du triangle de Pascal. La formule étant la suivante :

Formule d'Hardisky

La démonstration des formules de Hardisky et Toloza se basent toutes les deux sur une transformation de la série de Nilakantha Somayaji (1444-1544, oui, c'est pas récent), mathématicien indien qui développa la série suivante :

Ces séries numériques ont vu leur convergence prouvée (oui, le but n'est pas juste de trouver une série qui semble tendre vers π, il faut aussi le prouver) Il existe aussi des formules pour les deux autres diagonales suivantes, elles se sont pas formellement prouvées mais c'est surtout parce qu'au final chaque diagonale possède cette propriété :

On constate ainsi que pour les séries utilisant les chiffres des "diagonales" paires (celles de Leibniz, Hardisky et pour la 6ème rangée) on utilise uniquement une valeur sur 2 et en alternant les signes + et -. Pour les diagonales "impaires", il semble qu'on utilise toutes les valeurs de la diagonale mais en faisant des paires d'additions et de soustractions.

Vitesse de convergence

 

Ces séries convergeant toutes vers π, il peut être interessant de voir si leur vitesse de convergence est très différente. Pour cela nous pouvons calculer les 100 premières valeurs pour chacune des formules et évaluer à chaque fois l'écart (en valeur absolue) entre la valeur obtenue et π. On cherche donc à obtenir une valeur qui se rapproche rapidement de 0.

Le graphique ci-dessus (avec l'axe des ordonnées exprimé en valeur logarithmique) montre que la méthode de Leibniz est bien celle qui converge le moins rapidement puisqu'en utilisant les 100 première valeurs on tombe péniblement à un écart de 0.01 avec π. Alors que plus les séries sont "évoluées" plus cette convergence est rapide.
Avec la formule de Toloza et celle pour la cinquième diagonale on observe des oscillations. Cela s'explique par le fait que la série n'alterne pas pour chaque terme addition et soustraction (comme c'est le cas pour les séries des diagonales paires), mais qu'elle fait des paires d'additions et des paires de soustractions, cela implique donc qu'on s'éloigne deux fois de suite de la vraie valeur puis on s'en rapproche deux fois de suite, ce qui lui donne cet aspect oscillatoire mais ne l'empêche pas néanmoins de converger vers la solution.
En calculant l'estimation par la méthode de Hardisky pour les 100 premières valeurs on obtient 3.1415924, on est donc correct pour les 6 premières décimales (d'où une erreur à 10e-6). Pour la version la plus aboutie on atteint 10 décimales exactes à l'issue des 100 premières itérations.

Conclusion

A notre époque, il existe des séries bien plus efficaces puisque chaque itération améliore la précision de plusieurs décimales à chaque itération (un des algorithme le plus utilisé trouve 8 décimales supplémentaires par itérations). L’intérêt réside donc plutôt dans la découverte de cette relation entre π et le triangle de Pascal qui n'ont a priori aucun rapport. Vous avez pu constater que les preuves "officielles" sont très récentes mais il semble très probable que ces propriétés soient connues depuis plusieurs siècles. Il est probable que personne ne s'est réellement embeté à le démontrer puisque l’intérêt est assez faible.