Introduction
Nous allons parler de la meilleure manière de gagner de l'argent, en comparant les gains réalisables à l'EuroMillions et au Loto. Si vous voulez un résumé de ce qui va suivre : Gardez votre argent c'est vraiment trop une escroquerie!! (Vous avec une chance sur 10 000 de gagner 100€ à l'EuroMillions, c'est pas honteux?!?!)
Le loto
Inutile de présenter le loto, il s'agit surtout d’expliquer que depuis octobre 2008, la grille du Loto se compose désormais de 5 nombres à choisir parmi 49 et d'un autre numéro (appelé numéro chance à choisir parmi une autre grille, plus petite, allant de 1 à 10). Si le numéro chance est le bon, alors la grille est remboursée. Donc une fois sur 10 le joueur repart au moins avec sa mise même si aucun numéro de sa grille principale n'est bon.
L'EuroMillions
La grille d'EuroMillions se compose elle aussi d'un système de "double grille". Une première grille principale où il faut choisir 5 nombres parmi 50 et deux nombres (deux "étoiles") à choisir dans une seconde grille parmi 12 possibilités. Il est donc plus difficile d'obtenir le gros lot pour la grille d'EuroMillions puisque celle-ci a à chaque fois un peu plus de cases que celle du Loto et en plus il faut choisir deux nombres au lieu d'un, dans la grille secondaire.
Il est plus "rentable" de jouer au loto
Évidemment les cagnottes de l'EuroMillions sont plus importantes, cependant il faut aussi regarder quel jeu offre la plus grande probabilité de gagner des sommes plus raisonnables, disons 100 euros, ou 1000 euros, afin d'en évaluer l’intérêt.
Pour se faire il suffit de deux types d'informations :
1- La probabilité qu'une grille appartienne à un certain rang (le "rang" est la catégorisation d'une grille en fonction du nombre de numéros corrects. Une grille ayant tous les bons numéros est une grille de rang 1).
2 - Quel gain est associé à chaque grille de chaque rang.
On peut alors déduire de ces deux informations la probabilité de gagner une certaine somme. Pour connaitre le gain associé à chaque grille il suffit de regarder les tirages déjà passés et l'argent gagné par les joueurs aux différents rangs.
Pour l'EuroMillions il n'est possible de remonter qu'à septembre 2016 puisque auparavant, la grille secondaire contenait 11 numéros et non 12. Les probabilités de gains étaient donc différentes. Pour le Loto, la grille secondaire n'est apparue qu'en 2008.
Pour avoir des résultats comparables, se sont donc tous les tirages depuis 2017 (et donc tous les gains) qui ont été comparés.De plus d'un tirage à l'autre, il existe une certaine variabilité dans les gains qui sont possibles. Ils dépendent de l'importance de la cagnotte mais aussi du nombre de vainqueurs aux différents rangs qui devront se partager la somme. Un intervalle de confiance (à 80%) est donc ajouté sur le graphique.
La comparaison
Interprétation
Le graphique (en échelle logarithmique) se lit ainsi, en regardant l'axe des abscisses et en regardant par exemple la valeur 10K (notation abrégée de 10 000). On constate que la courbe orange passe environ par la valeur 100 en ordonnées. Cela signifie qu'il y a environ une chance sur 10 000 d'avoir une grille qui permet de gagner de gagner 100 euros à l'EuroMillions. En regardant la courbe bleue, on se rend compte qu'il y a une chance sur 10 000 (donc environ la même probabilité) d'avoir une grille qui permet de gagner 500 euros. C'est quand même (un peu) mieux non ?
On notera parfois des décalages un peu étranges dans ces deux courbes. Ils s'expliquent par certaines bizarreries de ces loteries. Par exemple on voit que les rangs 6 et 7 de l'EuroMillions sont quasiment à la même probabilité mais que le gain du rang 6 est assez significativement supérieur à celui du rang 7. Le rang 6 de l'EuroMillions correspond a 3 numéros + 2 étoiles et a une chance sur 14125 d'arriver. Le rang 7 est "un peu" plus facile a obtenir, il s'agit d'avoir 4 bons numéros et 0 étoile. Il a une chance sur 13811 d'arriver. La différence de probabilité entre ces deux évènements est donc minime (à peine 3% d'écart) et pourtant la récompense n'est pas du tout la même, en moyenne le propriétaire d'une grille de rang 6 repartira avec 102€ alors qu'un possesseur d'une grille de rang 7 repartira avec 60€.
Rentabilité
Il semble évident que jouer aux différentes loteries n'est pas un placement "rentable" (cous allez perdre en moyenne plus d'argent que ce que vous allez en gagner. A peine un peu plus de 50% des mises sont retournées sous forme de gain auprès des joueurs. Pour le loto, vous dépenserez 2.20€ pour une grille qui vous rapportera en moyenne 1.17€.
Nous avons aussi vu qu'à l'EuroMillions il y a environ une chance sur 14 000 d'avoir une grille de rang 6 et que ça grille rapportera (en gros) 100€. Cela signifie que si vous jouez 14 000 grilles a 2.5€, en moyenne vous en aurez une qui vous rapportera 100€ (pour cet exemple on ne compte pas le fait que d'autres de ces grilles peuvent être gagnantes à des rangs inférieurs). Vous avez donc dépensé 35 000€ pour en gagner 100. Vous avez donc dépensé 350 fois plus que ce que vous avez gagné. C'est ce chiffre, "350" qui nous intéresse. Normalement on souhaiterai s'approcher d'une valeur de rentabilité de 1. C'est a dire que l'on récupère en moyenne ce que l'on à misé. C'est une chose qui est possible dans une certaine mesure pour les deux cas extrêmes.
Par exemple pour le Loto, il suffit d'avoir une bonne étoile pour être remboursé de sa mise. Donc en moyenne, si vous achetez 10 grilles il y en a une qui vous rapportera 2.20€. Vous aurez donc dépensé 22€ et reçu 2.2€. C'est donc une rentabilité de 10. Ce n'est pas incroyable mais c'est quand même toujours mieux que 350.
Idem pour le cas inverse. Nous avons vu qu'il y a environ une chance sur 140 millions d'avoir la bonne combinaison à l'EuroMillions. Donc si vous achetez 140 millions de grilles à 2.5€ vous avez donc dépensé 350 millions (oui il faut avoir un peu les moyens). Vous allez donc forcement gagner le gros lot et si la cagnotte était par exemple de 100 millions (et que vous êtes le seul gagnant) alors vous aurez atteint une rentabilité d'environ 3.5 (je dis "environ" car vous allez gagner aussi un peu d'argent avec les autres grilles aux rangs inférieurs). Une fois de plus, ce n'est pas une rentabilité de 1, mais c'est toujours mieux que 350.
On peut alors comparer les "rentabilités" entre le Loto et l'EuroMillions.
Le graphique
Les choses à constater sont que le Loto est toujours plus rentable que l'EuroMillions mais surtout, et c'est une excellente technique marketing, les deux extrêmes sont les choses les plus rentables. Cela signifie que vous gagnerez "souvent" des petites sommes, vous montrant qu'il est possible de gagner à ce jeu et cela pourrait vous inciter à rejouer. De la même manière, le gros lot sera lui aussi "souvent" décroché, on en parlera peut-être dans les journaux et vous vous direz que cela pourrait aussi être vous. En revanche, des gens qui gagnent 500€ ça n'épate pas grand monde et finalement ces gens-là sont "proportionnellement" plus rares que les autres. Si les mises étaient équitablement réparties entre les rangs on devrait voir des barres horizontales sur le graphique ci-dessus, indiquant que le gain est proportionnel à la rareté de l'évènement. Ce n'est pas le cas ici, les cas très fréquents sont très biens payés mais les gains intermédiaires sont très peu "rentables".
Calcul des probabilités
Cette dernière partie revient sur la manière de calculer la probabilité d'obtenir un certain résultat. On va d'abord calculer la probabilité d'avoir tous les bons numéros (donc de trouver la grille exacte correspondant au tirage) mais il est plus interessant de voir comment il est possible de trouver la probabilité d'avoir un résultat incomplet (le résultat "parfait" n'en est finalement qu'une extension).
Le nombre de tirages possible de 5 numéros parmi 50 est :
cette formule explique qu'il y a 50 possibilités pour choisir le premier numéro, puis 49 possibilité pour le second (car il ne reste plus que 49 numéros parmi lesquels piocher après avoir tiré le premier numéro), 48 pour le troisième, 47 pour le 4ème et 46 pour le 5ème. Il y a donc 50x49x48x47x48 possibilités. Mais il faut aussi faire attention à ne pas compter des combinaisons en double. En effet, le tirage 1-2-3-4-5 et 5-4-3-2-1 constituent par exemple 2 grilles strictement identiques. L'ordre de tirage ne doit pas donc rentrer en compte. C'est pour ça que l'on divise par le nombre total de manière d'ordonner 5 un tirage de 5 numéros. Le premier des numéros peut être tiré parmi 5, le suivant parmi 4, etc... On divise donc par 5x4x3x2x1.
Au tiercé, l'ordre d'arrivée des chevaux à une importance, et le résultat 1-2-3-4-5 ne rapportera pas forcement la même somme que si le résultat est 5-4-3-2-1 alors qu'au Loto cela n'a pas d'importance. On peut donc compter le nombre d'arrangements possibles mais au loto (ou à l'EuroMillions) les nombres peuvent être permutés. Il faut donc diviser le nombre total d’arrangements par le nombre total de permutations afin d'obtenir le nombre total de combinaisons.
Poursuivons avec le nombre de tirages possibles de 2 numéros parmi 12 qui est :
Donc, le nombre de combinaisons de doubles-grilles est 66 fois 2118760 ce qui est égal a 139 838 160. Il y a donc environ une chance sur 140 millions d'avoir la bonne grille.
Exemple
: Quelle est la probabilité, à l'EuroMillions, d'avoir 3 bons numéros
sur 5 dans la grille principale et un bon numéro (une "étoile") sur 2
dans la grille secondaire. Tout d'abord il faut compter le nombre total
de combinaisons.
Regardons maintenant le nombre de cas où 3 numéros sur 5 sont corrects dans la grille principale. Il s'agit donc de piocher 3 numéros parmi les 5 bons et 2 numéros parmi les 45 mauvais.
Puis dans la grille secondaire, on cherche les cas où un numéro (parmi les deux tirés) est bon et l'autre est n'est pas gagnant (et donc appartient au 10 numéros non-tirés de la seconde grille)
Il y a donc 9900 x 20 grilles différentes qui ont exactement 3 bons numéros sur la grille principale et 1 sur la grille secondaire. Ce qui fait donc 198 000 grilles parmi les 140 millions. Ce qui représente donc environ 1 chance sur 706.
Le tableau des probabilités est donc le suivant :
Pour le Loto, dans un esprit similaire les probabilités sont les suivantes :
